Công thức cấp số cộng và bài tập có lời giải đầy đủ, chi tiết nhất

Cấp số cộng là gì và hệ thống công thức cấp số cộng. Tính chất cấp số cộng. Các dạng bài tập cấp số cộng cũng như bài tập có lời giải và lưu ý khi làm bài cấp số cộng.

Nhiều người luôn cảm thấy khó khăn khi học toán và đặc biệt là khi học về cấp số cộng là gì? Tính chất và các dạng bài toán là như thế nào? Nếu chưa rõ về các kiến thức trên hãy xem ngay bài viết này cực dễ hiểu và dễ áp dụng!

1. Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là một dãy số mà ở đó chúng thoả mãn điều kiện hai phần tử liên tiếp nhau sai khác nhau một hằng số. Chẳng hạn, dãy số 2, 5, 8, 11,... là một cấp số cộng với các phân tử liên tiếp sai khác nhau hằng số 3.

Các phần tử của trong dãy số được gọi là các số hạng. Hằng số sai khác chung được gọi là công sai của cấp số cộng, có ký hiệu là d. Như ví dụ trên, công sai d = 3.

Định nghĩa về cấp số cộng

2. Hệ thống công thức cấp số cộng

Công thức cấp số cộng

Công thức: U_n+1 = U_n + d

Trong đó:

- U_n, U_n+1: Là hai số hạng liền tiếp nhau.

- d: Công sai. Ta có d = U_n+1 - U_n

​

Công thức cấp số cộng

Số hạng tổng quát

Công thức: U_n = U₁ + d(n – 1)

Trong đó:

Trong đó:

- n: Là số lượng số hạng trong tổng.

- U₁: Là giá trị số hạng đầu tiên.

- U_n: Là giá trị số hạng cuối cùng.

- d: Là công sai.

Điều kiện: n phải lớn hơn hoặc bằng 2.

Công thức số hạng tổng quát

Công thức tính tổng cấp số cộng của n số hạng

Công thức tính tổng của cấp số cộng

Trong đó:

- S_n: Là tổng của n số hạng.

- n: Là số lượng số hạng trong tổng.

- U₁: Là giá trị số hạng đầu tiên.

- U_n: Là giá trị số hạng cuối cùng.

- d: Là công sai.

3. Tính chất cấp số cộng

Tính chất 1

Tính chất 1 của cấp số cộng

Tính chất 2

Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n.

Tính chất 2 của cấp số cộng

4. Các dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Câu hỏi: Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng.

A. 3; 6; 9; 12. Với d = 3 và u₁ = 3.

B. 3; 7; 8; 9. Với d = 1 và u₁ = 3.

C. 2; 5; 8; 12. Với d = 3 và u₁ = 2.

D. 5; 7; 8; 10. Với d = 3 và u₁ = 5.

Trả lời: Đáp án A đúng.

Ta thấy: u₁ = 3.

u₂ = u₁ + d = 3 + 3 = 6.

u₃ = u₂ ​+ d = 6 + 3 = 9.

u₄ = u₃ ​+ d = 9 + 3 = 12.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Câu hỏi: Cho cấp số cộng 5; 7; 9; 11. Hãy tìm công sai cấp số cộng.

Bài giải:

Ta có U_n+1 = U_n + d

➩ 7 = 5 + d.

➩ d = 7 - 5 = 2.

Vậy công sai của dãy cấp số cộng trên là 2.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Câu hỏi Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 0,4 và công sai d = 1. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng này là:

Bài giải:

Ta có công thức: u_n = u₁ + d(n – 1)

u₁₀ = 0.4 + 1(10 – 1)

u₁₀ = 9.4

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

​Cho một cấp số cộng có số hạng đầu là 0.4 và số hạng thứ 10 là 9.4. Hãy tính tổng của cấp số cộng trên.

Cách giải bài tập cấp số cộng dạng 4

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

Cho một cấp số cộng có u₁= 8, d = 12. Biết cấp số cộng có 5 số. Hãy tìm cấp số cộng trên.

Bài giải:

Ta có công thức: u_n = u₁ + d(n – 1)

u₂ = u₁ + d(n – 1) = 8 + 12(2 - 1) = 8.

u₃ = u₁ + d(n – 1) = 8 + 12(3 - 1) = 20.

u₄ = u₁ + d(n – 1) = 8 + 12(4 - 1) = 32.

u₅ = u₁ + d(n – 1) = 8 + 12(5 - 1) = 44.

u₆ = u₁ + d(n – 1) = 8 + 12(6 - 1) = 56.

5. Bài tập về cấp số cộng có lời giải

Bài tập 1: Cho 1 cấp số cộng (u_n) biết rằng số hạng đầu u₃ = 3; và u₄ = 9. Công sai của cấp số cộng đó bằng:

A. −6.

B. 6.

C. 3.

D. 12.

Đáp án:

Áp dụng công thức xác định số hạng tổng quát: u_n = u₁ + d(n – 1).

➩ 9 = 3 + d(2 – 1) ➩ d = 6

Kết luận: Công sai là d = 6 ➩ Đáp án B đúng.

Bài tập 2: Cho 1 cấp số cộng (u_n ) biết rằng số hạng đầu u₁ = – 6; và số hạng u₉ = 50. Hãy tìm công sai của cấp số cộng đó.

A. 3.

B. 5.

C. 7.

D. 8.

Đáp án:

Áp dụng công thức xác định số hạng tổng quát: u_n = u₁ + d(n – 1).

➩ – 6 + d(9 – 1) = 50.

➩ d = 7 ➩ Đáp án C đúng.

Bài tập 3: Một cấp số cộng (u_n) biết rằng số hạng đầu tiên u₁ = 5, số hạng thứ 11 là u₁₁ = 25. Hãy tính tổng 11 số hạng đầu tiên của dãy số này.

Bài giải bài tập 3

Bài tập 4: Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là 6 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?

A. 215 triệu.

B. 15,5 triệu.

C. 155 triệu.

D. 60 triệu.

Bài giải bài tập 4

6. Một số lưu ý về cấp số cộng​

- Thường xuyên làm nhiều dạng bài tập liên quan đến cấp số cộng để rèn luyện kỹ năng tính toán.

- Áp dụng đúng công thức, theo từng loại dạng bài tập khác nhau để có thể tính toán được nhanh và chính xác nhất.

Các lưu ý khi làm bài tập về cấp số cộng

- Nên biết tận dụng máy tính cầm tay để tính toán các bài toán liên quan đến cấp số cộng để độ chính xác được cao hơn.

Hy vọng các nội dung trong bài viết sẽ hữu ích với bạn. Cám ơn đã theo dõi, hẹn gặp lại ở những bài viết tiếp theo!

Trung tâm hỗ trợ check bảo hành màn hình, tivi, máy lạnh – điều hòa, máy hút bụi, tủ lạnh, máy pos, máy lọc nước điện giải, tai nghe cho khách hàng.