-
7:30 - 20:30
Cả CN & Lễ -
-
Định nghĩa tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị. Công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và cách phân biệt. Công thức nhị thức Niu-tơn. Các dạng toán và bài tập tổ hợp, chỉnh hợp,...
Hoán trong hoán đổi và vị trong vị trí. Có nghĩa là nếu chúng ta có 1 tập hợp n phần tử (n>0), thì mỗi cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự thì ta được 1 hoán vị của n phần tử đó.
Để tính hoán vị, ta sử dụng công thức:
Công thức tính hoán vị
Trong đó:
+ n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n - 1) x n.
+ 0! = 1.
Câu hỏi ví dụ: Cho tập A = {3, 4, 5, ,6, 7}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt?
Đáp án: 5!= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 số.
Đáp án ví dụ hoán vị
Cho tập hợp A gồm có n phần tử. Một bộ gồm k ( với 1 nhỏ hơn hoặc bằng k và k nhỏ hơn hoặc bằng n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A.
Để tính chỉnh hợp, ta sử dụng công thức sau:
Công thức để tính chỉnh hợp
Câu hỏi ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp ba khách Ngọc, Khánh, Ngân vào hai chỗ ngồi cho trước?
Đáp án:
Đáp án cho ví dụ của chỉnh hợp
Cho tập hợp A bao gồm n phần tử. Một tập con của A gồm có k phần tử phân biệt ( với 1 nhỏ hơn hoặc bằng k và k nhỏ hơn hoặc bằng n), được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
Dưới đây là các công thức để tính tổ hợp (với k, n hợp lệ):
Các công thức tính tổ hợp
Câu hỏi ví dụ: Ông X có 11 người bạn. Ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa. Trong 11 người đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông X có bao nhiêu cách mời?
Đáp án:
Đáp án là 378 cách
Dưới đây là công thức nhị thức Newton:
Công thức nhị thức Newton
Dưới đây là tổng hợp các công thức quan trọng của tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị:
Các công thức quan trọng
Bảng dưới đây sẽ giúp bạn phân biệt được tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị:
Bảng phân biệt
Phương pháp giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình tổ hợp không quá khó, chỉ cần bạn lần lượt thực hiện các bước dưới đây:
+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa: Các chỉ số phải là số tự nhiên và chữ số dưới phải lớn hơn hoặc bằng chỉ số trên.
+ Bước 2: Sử dụng các công thức của hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
+ Bước 3: Biến đổi phương trình, bất phương trình cho đơn giản rồi bắt đầu tìm nghiệm.
+ Bước 4: Đối chiếu kết quả với điều kiện rồi kết luận.
Phương pháp giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình tổ hợp
- Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta sẽ dựa trên các dấu hiệu sau:
+ Tất cả n phần tử đều có mặt.
+ Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần.
+ Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
- Nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta sẽ dựa trên những dấu hiệu sau:
+ Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
+ Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Các dạng bài tập
- Bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử sẽ được nhận biết qua các dấu hiệu sau:
+ Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
+ Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Để rút gọn các biểu thức chứa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ta biến đổi linh hoạt dựa trên các công thức để đưa về dạng đơn giản dần.
Để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức ta sử dụng các công thức của tổ hợp. Người ta thường sử dụng các cách sau:
+ Cách 1: Dùng các phép biến đổi.
+ Cách 2: Đánh giá vế của bất đẳng thức.
+ Cách 3: Chứng minh quy nạp.
+ Cách 4: Dùng phương pháp đếm.
Dạng bài tập chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức
Để giải dạng bài toán phương trình, hệ phương trình người ta thường sử dụng 1 trong 2 cách dưới đây:
+ Cách 1: Thực hiện việc đơn giản biểu thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để chuyển phương trình về dạng đại số quen thuộc.
+ Cách 2: Đánh giá thông qua giá trị cận trên hoặc cận dưới.
Câu 1: Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng? (giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau)
A. 120.
B. 100.
C. 80.
D. 60.
Đáp án: A.
Số các khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5! = 120 cách.
Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài?
A. 120.
B. 5.
C. 20.
D. 25.
Đáp án: A.
Số cách sắp xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử nên có 5! = 120 cách.
Câu 3: Giả sử có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?
A. 35.
B. 30240.
C. 210.
D. 21.
Đáp án: C.
Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử, suy ra có 210 cách.
Câu 4: Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?
A. 576.
B. 144.
C. 2880.
D. 1152.
Đáp án: B.
Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8.
Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. (Nếu chọn 8 cách thì tức là nhầm với bàn dài).
Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào 3 ghế (có số ghế cùng tính chẵn hoặc lẻ với bạn đầu) có 3! cách.
Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đã xếp ở trên có 4! cách.
Vậy có 3! x 4! = 144 cách.
Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?
A. 12.
B. 24.
C. 4.
D. 6.
Đáp án: D.
Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì . Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có 3! = 6 cách.
Câu 1: Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách?
Đáp án:
Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.
Vậy có P = 5! = 120 cách.
Câu 2: Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn?
Đáp án:
Vì không xét đến sự phân biệt chức vụ của 3 người trong ban thường vụ nên mỗi cách chọn ứng với một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Vì vậy, ta có:
Có 35 cách chọn ban thường vụ
Vậy ta có 35 cách chọn ban thường vụ.
Câu 3: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng phân biệt song song với nhau và năm đường thẳng phân biệt vuông góc với bốn đường thẳng song song đó.
Đáp án:
Cứ 2 đường thẳng song song với 2 đường thẳng vuông góc với chúng cắt nhau tại bốn điểm là 4 đỉnh của hình chữ nhật.
Vậy lấy 2 đường thẳng trong 4 đường thẳng song song và lấy 2 đường thẳng trong 5 đường thẳng vuông góc với 4 đường đó ta được số hình chữ nhật là:
Có 60 hình chữ nhật
Vậy có 60 hình chữ nhật.
Cách bấm máy tính cầm tay tính tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị vô cùng đơn giản, chỉ cần thực hiện 1 bước như sau:
Cách bấm máy tính đơn giản tính tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị
Tuy nhiên, để giải phương trình hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp thì cách bấm sẽ khó hơn và phải dùng dòng máy tính Casio fx 570 ES trở lên:
Cần sử dụng dòng máy Casio fx 570 ES trở lên để tính phương trình
- Cần đọc kỹ đề bài để không bỏ lỡ những dữ kiện quan trọng.
- Máy tính cầm tay thực sự rất cần thiết khi làm các bài tập về tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị.
- Biết phân biệt các dạng bài tập.
Một số lưu ý cần biết
- Biết phân biệt tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị.
- Thường xuyên làm bài tập để không quên hoặc ghi nhớ sai lệch về kiến thức vì đây là lượng kiến thức quan trọng xuất hiện trong thi cử.
Trên đây là bài viết tổng hợp các công thức và bài tập của hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp. Rất mong bài viết sẽ có ích với bạn và hẹn gặp lại ở những bài viết sau!
Trungtambaohanh.com giảm 500.000đ cho những khách hàng sắm sửa các thiết bị công nghệ ngay hôm nay.
0967891080
