Định lý Viet và ứng dụng giải 16 dạng bài tập có ví dụ cực chi tiết

Các kiến thức liên quan đến định lý Viet: Định lí Viet thuận, đảo, định lý Viet áp dụng cho phương trình bậc 2, 3, và một số bài tập ví dụ có hướng dẫn chi tiết.

Định lý Viet là kiến thức quan trọng giúp bạn thuận lợi giải các bài toán liên quan đến phương trình đa thức trong trường số phức. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về định lý Viet, ứng dụng của định lý Viet vào 16 dạng bài tập phổ biến.

1. Định lý Viet, hệ thức Viet là gì?

Định lý Viet là công thức được tìm ra bởi nhà toán học người Pháp Francois Viète, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số của nó.

Francois Viète - Người tìm ra Định lý và công thức Viet

Tên gọi của định lý phiên âm theo tiếng Việt là Vi-ét. Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông.

2. Định lý Viet thuận

Định lý Viet thường gặp đối với phương trình bậc 2 một ẩn.

Định lý Viet thuận

3. Định lý Viet đảo

Định lý Viet đảo

4. Ứng dụng của hệ thức Vi-et

Ứng dụng hệ thức Viet để tìm hai số khi biết tổng và tích

Tìm hai số u, v khi biết tổng S, tích P

Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng

Một biểu thức đối xứng khi ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau mà giá trị của biểu thức đó không thay đổi.

f (x1, x2) = f (x2, x1)

Luôn tồn tại cách biểu diễn biểu thức f qua biểu thức đối xứng S = x1 + x2 và P = x1.x2.

Một số biểu diễn biểu thức quen thuộc:

5 biểu diễn biểu thức quen thuộc thường gặp

Và để tính được giá trị các biểu thức này ta sẽ sử dụng định lý Viet.

Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số

Bài toán có tham số là một bài toán chứa ẩn, thường ký hiệu bằng chữ m, n, k,... Để giải được những bài toán phương trình chứa tham số ta cần xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm và áp dụng định lý Viet cho phương trình đa thức để đưa ra hệ thức của các nghiệm theo tham số, kết hợp với dữ liệu đề bài cho để tìm đáp án.

5. Định lý Viet bậc 2

Phương pháp giải phương trình bậc 2

Cách dùng định lý Viet để giải phương trình bậc 2

Dấu nghiệm của phương trình bậc 2

Dấu nghiệm của phương trình bậc 2

Một số đẳng thức cần lưu ý

5 đẳng thức cần lưu ý

Các trường hợp nghiệm của phương trình bậc 2

Trường hợp phương trình bậc hai có hai nghiệm

Phương trình bậc hai cũng có thể có một nghiệm

Các trường hợp đặc biệt

- Nếu a + b + c = 0 (Với a, b, c là hệ số của phương trình bậc hai, a khác 0) thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = c/a.

- Nếu a - b + = 0 (a, b, c vẫn là hệ số của phương trình bậc hai, a khác 0) thì phương trình có nghiệm x1 = -1, x2 = -c/a.

- Nếu a, c trái dấu nhau (Tích a, c nhỏ hơn 0) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

6. Định lý Viet bậc 3

Định lý Viet cho phương trình bậc 3

7. Phương trình đa thức bất kỳ

Định lý Viet cho phương trình đa thức bất kỳ

8. Các dạng bài tập định lý Viet

Dạng 1. Dựa định lý Viet để tính nhẩm nghiệm

Bạn có thể sử dụng định lý Viet để nhẩm nghiệm đối với các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2. Cách làm này có thể giúp bạn tiết kiệm thời gian và không phải phụ thuộc quá nhiều vào máy tính cầm tay.

Ví dụ:

Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai bằng hệ thức Viet

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm

Nếu phương trình bậc hai với a ≠ 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ta có thể biểu thị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm theo S = x1 + x2 và P = x1.x2.

Chú ý:

Khi tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm thông thường ta biến đổi sao cho trong biểu thức đó xuất hiện tổng và tích các nghiệm rồi áp dụng định lý Vi-ét để giải.

Ví dụ:

Tính giá trị biểu thức giữa các nghiệm dựa trên định lý Viet

Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Với điều kiện S^2 - 4P > = 0, tồn tại hai số thực x1, x2 có tổng bằng S, tích bằng P thì x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai với a ≠ 0.

Ví dụ:

Tìm hai số khi biết tổng S, tích P dựa trên định lý Viet

Dạng 4. Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Cách phân tích phương thức bậc hai thành nhân tử

Ví dụ:

Phân tích nhân tử của tam thức bậc hai

Dạng 5. Tìm điều kiện tham số để phương trình có một nghiệm

Theo định lý Viet để phương trình bậc hai có một nghiệm thì delta phải bằng 0. Những bài toán thuộc dạng này thường xuất hiện phương trình đi kèm ẩn số được kí hiệu bằng chữ cái như: k, m, n,... Điều bạn cần làm đó chính là áp dụng định lý Viet để tìm ra giá trị của ẩn số để phương trình có một nghiệm duy nhất.

Ví dụ:

Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm

Dạng 6. Xác định tham số để các nghiệm thỏa mãn điều kiện

Một số dạng toán thường xuất hiện kèm điều kiện cho trước ví dụ như: Phương trình bậc hai thỏa mãn một đẳng thức hoặc bất đẳng thức, một biểu thức của các nghiệm đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất,...

Ví dụ:

Xác định tham số m bằng định lý Viet

Dạng 7. Lập phương trình bậc trình bậc hai một ẩn

Khi biết hai nghiệm x1, và x2 của một phương trình bậc hai, ta cần phải tính S = x1 + x2 và P = x1.x2 và áp dụng định lý Viet để lập phương trình.

Ví dụ:

Lập phương trình bậc hai một ẩn dựa trên định lý Viet

Dạng 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình

Cách tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình

Ví dụ:

Hướng dẫn giải câu a

Hướng dẫn giải câu b

Dạng 9. Chứng minh hệ thức các nghiệm của phương trình

Ví dụ:

Ví dụ về chứng minh hệ thức giữa các nghiệm của phương trình

Dạng 10. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2

Dùng định lý Viet để xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ:

Sử dụng định lý Viet để xác định m với điều kiện hai nghiệm đối nhau

Dạng 11. Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình

Bạn sẽ sử dụng định lý Viet để giải các bài toán liên quan đến nghiệm chung của hai phương trình tương đương hoặc nhiều phương trình.

Ví dụ:

Sử dụng Viet xác định m để hai phương trình tương đương 1

Sử dụng Viet xác định m để hai phương trình tương đương 2

Dạng 12. Ứng dụng của định lý vào giải các bài toán số học

Ứng dụng định lý Viet để giải bài toán tìm số nguyên dương thoả mãn điều kiện cho trước

Dạng 13. Ứng dụng của định lý vào giải phương trình

Bạn cũng có thể sử dụng định lý Viet để giải các phương trình bất kỳ, giúp bạn tiết kiệm thời gian cũng như gia tăng tốc độ làm bài.

Ứng dụng định lý Viet để giải các phương trình

Dạng 14. Ứng dụng của định lý vào các bài toán chứng minh

Sử dụng định lý Viet để chứng minh bất đẳng thức Cô - si

Ví dụ:

Tìm giá trị lớn nhất của F

Dạng 15. Vận dụng định lý Viet trong mặt phẳng tọa độ

Định lý Viet còn có thể giúp bạn giải một số dạng toán liên quan đến mặt phẳng tọa độ như: Khảo sát hàm số, viết phương trình đường thẳng, xét vị trí tương đối của đường thẳng và parabol.

Định lý Viet được áp dụng trong mặt phẳng toạ độ

Dạng 16. Ứng dụng của định lý Viet trong các bài toán hình học

Định lý Viet là một "phương pháp đại số" dùng để giải các bài toán hình học, giúp tính các bài tập về đoạn thẳng, cực trị hình học,... Đây là một phương pháp cực kỳ hiệu quả và mang đến cho bạn những lời giải hay, thú vị.

Ví dụ:

Bài tập sử dụng định lý Viet để giải toán hình 1

Bài tập sử dụng định lý Viet để giải toán hình 2 - Tìm GTLN, GTNN

9. Bài tập về định lý Viet có lời giải

Bài 1:

Bài tập về định lý Viet

Bài 2:

Bài tập 2 - Bài tập về định lý Viet (1)

Bài tập 2 - Bài tập về định lý Viet (2)

10. Một số lưu ý của định lý Viet

Luyện tập tường xuyên: Các bài tập về định lý Viet có rất nhiều dạng và cũng có một số dạng phổ biến như: Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2, tìm hai số khi biết tổng S, tích P hay phân tích phương trình bậc 2 thành nhân tử,... đây là những dạng toán cơ bản, khá đơn giản và dễ làm vì vậy bạn cần luyện tập nhiều lần để có thể thành thạo sử dụng những kiến thức này.

Sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ việc nhẩm nghiệm: Bạn không nên quá phụ thuộc vào máy tính cầm tay nhưng hãy mang theo nó bên mình để kiểm tra lại kết quả sau khi nhẩm nghiệm. Máy tính cầm tay cũng có thể hỗ trợ bạn tính toán các bài toán có nghiệm phức tạp.

Máy tính cầm tay, đồ dụng học tập không thể thiếu đối với các môn toán

Nắm rõ các công thức: Việc nhớ kỹ các công thức sẽ giúp bạn chủ động, tự tin hơn trong khi làm bài. Đừng nhầm lẫn giữa việc tính delta và delta phẩy.

Kiểm tra lại bài làm: Tạo cho bản thân thói quen kiểm tra lại bài làm sau mỗi lần hoàn thành bài tập cũng như bài thi. Việc này sẽ giúp bạn ra soát lại các lỗi sai, có thể kịp thời bổ sung chỗ thiếu và sửa chỗ sai.

Hy vọng sau khi xem xong bài viết này bạn sẽ dễ dàng hơn khi giải các bài toán liên quan đến định lý Viet. Cảm ơn bạn đã theo dõi!

Vienmaytinh 178 Hoàng Văn Thụ chuyên sửa chữa bảo hành các dòng điện thoại laptop máy tính bảng PC Gaming Surface Đồng Hồ cho khách hàng trên toàn TP.HCM.