Hình thoi là gì? Dấu hiệu nhận biết hình thoi cực chính xác, dễ hiểu

Định nghĩa hình thoi là gì. Tính chất hình thoi. Dấu hiệu nhận biết hình thoi. Định nghĩa khác liên quan hình thoi. Bốn cách chứng minh hình thoi và bài tập minh hoạ.

Hình thoi, một hình học quen thuộc trong suốt quãng đời học sinh và đôi khi cũng xuất hiện trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn định nghĩa hình thoi là gì và một số dấu hiệu nhận biết hình thoi chính xác.

1. Định nghĩa hình thoi là gì?

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Là trường hợp đặc biệt của hình bình hành với hai cạnh kề bằng nhau hoặc có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành

2. Tính chất hình thoi

Các góc của hình thoi sẽ đối nhau, bằng nhau.

Trong một hình thoi, các góc sẽ đối nhau

Hình thoi sẽ có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và là đường phân giác của các góc trong hình thoi.

AC vừa là đường chéo vừa là đường phân giác của góc DAB

Bởi vì hình thoi là hình bình hành đặc biệt nên sẽ có những tính chất của hình bình hành như:

- Các cạnh đối song song và bằng nhau.

- Các góc đối bằng nhau.

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Bạn có thể nhận biết hình thoi thông qua các dấu hiệu của hình tứ giác đặc biệt gồm:

- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

- Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau và hai đường chéo là đường phân giác của bốn góc.

Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Hoặc bạn có thể thông qua các dấu hiệu của một hình bình hành đặc biệt để nhận biết hình thoi như:

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc hoặc có một đường chéo là đường phân giác của một góc.

4. Các định nghĩa khác liên quan đến hình thoi

- Đường chéo hình thoi: Đường chéo là yếu tố quan trọng để tính toán diện tích hình thoi. Đây là đường nối các đỉnh đối diện của hình thoi và vuông góc với nhau tại giao điểm của chúng.

Đường chéo là yếu tố quan trọng để tính diện tích hình thoi

- Trục đối xứng hình thoi: Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo và giao điểm của hai đường chéo chính là tâm đối xứng.

5. Bốn cách chứng minh hình thoi và bài tập minh hoạ

Cách 1: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có các trung điểm của bốn cạnh lần lượt là M, N, P, Q. Chứng minh rằng các trung điểm này là các đỉnh của hình thoi.

Bài tập ví dụ về hình thoi

Bài giải chi tiết

Xét ΔABD có M và Q lần lượt là trung điểm của AB và AD

⇒ MQ là đường trung bình của ΔABD

⇒ MQ = 1/2 BD (1)

Chứng minh tương tự ta có: MN = 1/2 AC; NP = 1/2 BD; PQ = 1/2 AC (2)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)

Từ (1), (2) và (3), ta suy ra MQ = MN = NP = PQ

⇒ Tứ giác MNPQ là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau.

Cách 2: Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AE của ΔABC và lấy EA = EF. Chứng minh tứ giác ABFC là hình thoi.

Bài tập ví dụ về hình thoi

Bài giải chi tiết

Ta có:

ΔABC cân tại A có trung tuyến AE

⇒ AE là đường trung trực của BC

⇒ Tứ giác ABFC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau.

Cách 3: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, P, Q, O lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: MQPO là hình thoi.

Bài tập ví dụ

Bài giải chi tiết

M là trung điểm của BE và Q là trung điểm của DE

⇒ MQ là đường trung bình của ΔBDE

⇒ MQ // BD và MQ = 1/2 BD

Chứng minh tương tự, ta có:

PO // BD và PO = 1/2 BD

Do có MQ // PO và MQ = PO nên tứ giác MQPO là hình bình hành (4)

Tương tự, ta có: QP là đường trung bình của ΔCDE

⇒ QP = 1/2 CE mà CE = BD (giả thiết) => QM = QP (5)

Từ (4) và (5) ⇒ Tứ giác MQPO là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

Cách 4: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc

Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác ΔAOB; ΔBOC; ΔCOD và ΔDOA là đỉnh của một hình thoi.

Ví dụ minh họa

Bài giải chi tiết

Gọi E, F, G, H lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.

Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.

Xét ΔBEO và ΔDGO có:

Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)

=> ΔBEO = ΔDGO (góc cạnh góc)

=> OE = OG và các điểm E, O, G thẳng hàng (6)

Chứng minh tương tự: OF = OH và F, O, H thẳng hàng (7)

Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác EFGH là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)

Mặt khác ta lại có OE ⊥ OF (là đường phân giác của hai góc kề bù). (9)

Từ (8) và (9) suy ra: EFGH là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.

6. Các công thức về hình thoi

Công thức tính diện tích hình thoi

Diện tích của hình thoi bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo: S = ½ (D1 x D2).

Trong đó:

- S: Diện tích.

- D1, D2: Là đường chéo.

Bạn cũng có thể tìm hiểu thêm những công thức tính diện tích hình thoi khác tại bài viết Công thức tính diện tích hình thoi.

Ví dụ minh họa: Cho hình thoi MNPQ với hai đường chéo MP, NQ có độ dài lần lượt là 12 cm và 16 cm. Tính diện tích hình thoi MNPQ?

Tính diện tích hình thoi

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi ta có: S (MNPQ) = ½ (D1 x D2) = ½ (16 x 12) = 192 cm2.

Công thức tính chu vi hình thoi

Để tính được chu vi hình thoi ta lấy đội dài của một cạnh nhân với 4: P = a x 4.

Ta cũng có thể từ chu vi mà tìm ra một cạnh của hình thoi. Nếu trong trường hợp gặp những bài toán với những con số lớn hơn, phức tạp hơn lên đến hàng trăm hàng nghìn đơn vị thì máy tính cầm tay sẽ hỗ trợ bạn tính toán nhanh và chuẩn xác hơn, còn đối với những bài toán đơn giản thì chúng ta vẫn nên rèn luyện cho mình cách tính nhẩm nhé!

Máy tính cầm tay sẽ là công cụ giúp bạn tự tin hơn với kết quả tính toán của mình

Nếu bạn muốn tìm hiểu nhiều hơn về ví dụ cũng như các phương pháp giúp bạn tính toán chu vi hình thoi dễ dàng hơn thì hãy xem thêm tại bài viết Công thức tính chu vi hình thoi đơn giản, có ví dụ minh họa.

Ví dụ minh họa: Hình thoi ABCD có chu vi P = 20 cm thì cạnh của nó có độ dài là bao nhiêu?

Ta có thể tìm chiều dài của cạnh a khi biết chu vi P

Hướng dẫn giải

Ta có P = a x 4 => a = P : 4 = 20 : 4 = 5 cm.

Vậy hình thoi ABCD với các cạnh AB = BC = BD = DA = 5 cm.

Công thức tính đường chéo hình thoi

Từ công thức tính diện tích hình thoi: S = ½ (D1 x D2) ta sẽ có được công thức tính độ dài đường chéo của hình thoi như sau:

D1 = (S x 2) : D2 và ngược lại D2 = (S x 2) : D1.

Ví dụ minh họa: Một hình thoi có diện tích là 40 m2, biết độ dài đường chéo D2 là 20 m. Tính độ dài đường chéo còn lại?

Bài toán tìm đường chéo của hình thoi khi biết diện tích và độ dài một đường chéo

Hướng dẫn giải:

Ta có S = ½ (D1 x D2)

=> 40 = ½ (D1 x 20)

=> (D1 x 20) = 40 : ½ = 80 m.

=> D1 = 80 : 20 = 40 m.

Vậy hình thoi ABCD với hai đường chéo AC và BD có chiều dài lần lượt là 40 m và 20 m.

Hy vọng với bài viết này bạn sẽ tích lũy cho mình nhiều kiến thức hơn về hình thoi và các dấu hiệu nhận biết nó. Cảm ơn bạn đã theo dõi, hẹn gặp lại ở những chủ đề sau!

Trung tâm bảo hành có bán linh kiện và dịch vụ chính hãng, đào tạo KTV miễn phí, gọi là có mặt ngay, bảo hành tại nhà.