Lý thuyết, công thức cấp số nhân và bài tập có lời giải đầy đủ nhất

Cấp số nhân là gì. Công thức tổng quát cấp số nhân và tính chất. Công thức tổng n số hạng đầu tiên. Công bội q và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn cũng như bài tập cấp số nhân.

Cấp số nhân không có gì lạ lẫm với đối với các bạn học sinh, đây là phép toán cơ bản được sử dụng khá nhiều ở chương trình trung học phổ thông. Bài viết này Trung Tâm Bảo Hành sẽ giúp bạn củng cố lại các lý thuyết và những bài tập có lời giải đầy đủ về cấp số nhân.

1. Cấp số nhân là gì?

Trong toán học, cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Hằng số q này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân

2. Công thức tổng quát cấp số nhân

Nếu (U_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

Công thức tổng quát cấp số nhân

Với: N* là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0.

Ví dụ: Cho cấp số nhân U_n thỏa mãn U₁ = 5, q = 3. Tính U₂.

Ta có: U₂ = q.U₁ = 3.5 = 15.

3. Tính chất cấp số nhân

- U_k² = U _k-1.U _k+1 với k ≥ 2.

- Số hạng tổng quát: U_n = U₁.q_n – 1, n ≥ 2.

- Khi q = 0 thì dãy là U₁; 0; 0;…; 0;… và S_n = U₁ ( S_n : Tổng n số hạng đầu).

- Khi q = 1 thì dãy có dạng U₁; U₁; U₁;…;U₁;…và S_n = n.U₁.

- Khi U₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0;…; 0;…và S_n = 0.

4. Công thức tổng n số hạng đầu tiên

Giả sử có cấp số nhân U_n với công bội q . Với mỗi số nguyên dương n gọi S_n là tổng n số hạng đầu tiên của nó.

Công thức tổng n số hạng đầu tiên

5. Công bội q

q là công bội của cấp số nhân.

Công thức công bội q

Ví dụ: Cho cấp số nhân U_n có U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Áp dụng công thức ta có: q = U₂ / U₁ = 4 / 2 = 2.

6. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Nếu cấp số nhân có công bội thỏa mãn -1 nhỏ hơn q và q nhỏ hơn 1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Với: S_n là tổng n số hạng đầu tiên.

7. Phân dạng bài tập cấp số nhân

Dạng 1: Nhận biết cấp số nhân

- Bước 1: Tính q = (U_n + 1) / U_n ,∀ n ≥ 1

- Bước 2: Kết luận:

Nếu q là số không đổi thì dãy (U_n) là cấp số nhân.

Nếu q thay đổi theo n thì dãy (U_n) không là cấp số nhân.

Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Sử dụng các tính chất của cấp số nhân, biến đổi để tính công bội của cấp số nhân.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát U_n = U₁.q_n – 1, n ≥ 2.

Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Để tính tổng của cấp số nhân với n số hạng đầu tiên trong dãy số, ta sử dụng công thức:

Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Dạng 5: Tìm cấp số nhân

Tìm các yếu tố xác định một cấp số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q.

Tìm công thức cho số hạng tổng quát U_n = U₁.q_n – 1, n ≥ 2.

8. Bài tập cấp số nhân

Bài tập 1: Tính tổng 7 số hạng đầu tiên của cấp số nhân biết U₁ = 3, và công bội q = 4.

Bài giải bài tập 1 cấp số nhân

Bài tập 2: Cho cấp số nhân (U_n ) với U₁ = 4, công sai q = 3, tính U₇.

Bài giải bài tập 2 cấp số nhân

Bài tập 3: Cho cấp số nhân (U_n) có U₃ = 20 và U₄ = 40, tính tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Bài giải bài tập 3 cấp số nhân

9. Một số lưu ý khi làm cấp số nhân

- Nắm vững các công thức đã được nêu ở trên.

- Hiểu được cấp số nhân rõ ràng, chính xác, phân biệt được cấp số nhân với cấp số cộng.

Một số lưu ý khi làm cấp số nhân

- Làm bài tập thường xuyên để có thêm góc nhìn, tăng độ nhạy bén với dạng bài tập này.

- Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra lại kết quả cho chính xác.

Hy vọng với những thông tin trên sẽ giúp kiến thức về cấp số nhân của bạn thêm vững vàng hơn. Cảm ơn bạn đã theo dõi!

Trung tâm chuyên sửa chữa bảo hành máy chiếu, flycam, máy quét scaner, màn hình, tivi, máy lạnh – điều hòa, máy hút bụi, tủ lanh, máy pos, máy lọc nước điện giải, tai nghe tận nhà khách hàng.