Phương pháp, cách chứng minh hai đường thẳng song song có bài tập

Khái niệm hai đường thẳng song song. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. Tính chất hai đường thẳng song song. Cách vẽ và chứng minh hai đường thẳng song song.

Hai đường thẳng song song là một dang bài tập rất quen thuộc và thường gặp đối với các bạn học sinh đặc biệt khối lớp 7. Cùng xem ngay bài viết để tổng hợp lại kiến thức cũng như tham khảo một số dạng bài tập thường gặp nhé!

1. Đường thẳng là gì?

Đường thẳng là một đường dài vô hạn, mỏng cô cùng và thẳng tuyệt đối. Đối với môn toán hình học thì đường thẳng là một khái niệm quen thuộc và có nhiều dạng bài tập liên quan.

Dùng thước để vẽ đường thẳng

Để tìm hiểu rõ hơn về đường thẳng bạn có thể tham khảo bài viết Định nghĩa đường thẳng trong hình học.

2. Khái niệm hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.

Minh họa hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song a và b được ký hiệu là a // b.

3. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song khi có một đường thẳng cắt hai đường thẳng đó tạo thành:

- Hai góc so le trong bằng nhau.

Ký hiệu các góc đối với hai đường thẳng song song

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

- Hai góc trong cùng phía bù nhau.

4. Tính chất hai đường thẳng song song

- Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

- Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

5. Tiền đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song

Tiền đề Ơ-clit được phát biểu: "Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó".

Hình minh họa tiên đề Ơ-clit

6. Cách vẽ hai đường thẳng song song

Để vẽ hai đường thẳng song song, ta vẽ đường thẳng phụ vuông góc với đường thẳng đã cho, sau đó vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng phụ đó là ta sẽ được hai đường thẳng song song.

Ví dụ: Để vẽ đường thẳng b song song với đường thẳng a cho trước.

- Bước 1: Ta lấy điểm A trên đường thẳng a, vẽ đường thẳng c đi qua A và vuông góc với đường thẳng a.

- Bước 2: Lấy một điểm C trên đường thẳng c, vẽ đường thẳng b đi qua C và vuông góc với c tại C.

Vẽ hai đường thẳng song song nhờ đường thẳng phụ

7. Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp 1. Chỉ ra hai góc so le bằng nhau

- Ta có:

+ Đường thẳng c cắt đường thẳng a tại điểm A.

+ Đường thẳng c cắt đường thẳng b tại điểm B.

+ Góc so le của hai đường thẳng bằng nhau.

⇒ Hai đường thẳng a và b song song.

Vị trí của hai góc so le trong

Phương pháp 2. Chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhau

- Ta có:

+ Đường thẳng c cắt đường thẳng a tại điểm A.

+ Đường thẳng c cắt đường thẳng b tại điểm B.

+ Góc đồng vị của hai đường thẳng bằng nhau.

⇒ Hai đường thẳng a và b song song.

Vị trí của hai góc đồng vị

Phương pháp 3. Chỉ ra hai góc trong cùng phía bù nhau

- Ta có:

+ Đường thẳng c cắt đường thẳng a tại điểm A.

+ Đường thẳng c cắt đường thẳng b tại điểm B.

+ Tổng hai góc trong cùng phía bằng 180 độ.

⇒ Hai đường thẳng a và b song song.

Vị trí của hai góc trong cùng phía bù nhau

Phương pháp 4. 2 đường thẳng cùng ⊥ với đường thẳng 3

Với hai đường thẳng a và b phân biệt, ta có:

- Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c.

- Đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c.

⇒ Hai đường thẳng a và b song song.

a và B cùng vuông góc với c

Phương pháp 5. 2 đường thẳng cùng // với đường thẳng 3

Với hai đường thẳng a và b phân biệt, ta có:

- Đường thẳng a song song với đường thẳng c.

- Đường thẳng b song song với đường thẳng c.

⇒ Hai đường thẳng a và b song song.

b và c cùng song song với a

Phương pháp 6. Sử dụng tiên đề Ơ clit

Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Có điểm M nằm trên đoạn thẳng AB ta có:

- MA song song với đường thẳng a.

- MB song song với đường thẳng a.

⇒ Đoạn thẳng AB song song với đường thẳng a.

Tổng quát tiên đề Ơ-clit

8. Bài tập vận dụng về chứng minh hai đường thẳng song song

Bài 1: Hình nào là hai đường thẳng song song? Giải thích.

Hình đề bài 1

Bài giải:

Hình b là hai đường thẳng song song vì theo ký hiệu của hình b ta thấy hai góc so le trong bằng nhau.

Bài 2: Hãy vẽ một đường thẳng m song song với đường thẳng a.

Đề bài tập 2

Bài giải:

- Dùng thước e- ke vẽ đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a.

- Dùng thước e- ke vẽ đường thẳng m vuông góc với đường thẳng b.

Sau khi vẽ ta sẽ có được hình như sau:

Hình vẽ bài giải bài tập 2

Bài 3: Điền vào chỗ ba chấm từ thích hợp.

a. Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là …

b. Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì …

c. Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có ... đường thẳng song song với đường thẳng đó

d. Để vẽ hai đường thẳng song song, ta vẽ đường thẳng phụ ... với đường thẳng đã cho, sau đó vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng phụ đó là ta sẽ được hai đường thẳng song song.

Đáp án:

a. Hai đường thẳng a, b song song với nhau được kí hiệu là a // b.

b. Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì a song song với b.

c. Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó

d. Để vẽ hai đường thẳng song song, ta vẽ đường thẳng phụ vuông gốc với đường thẳng đã cho, sau đó vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng phụ đó là ta sẽ được hai đường thẳng song song.

Bài 4: Nhận định nào là đúng.

a. Đường thẳng c cùng vuông gốc với đường thẳng a và b thì a và b song song.

b. Góc so le trong của đường thẳng a và b được tạo bởi đường thẳng c là 67 và 76 độ. Vậy a và b song song.

c. Góc đồng vị của đường thẳng a và b được tạo bởi đường thẳng c là 120 và 60 độ. Vậy a và b song song.

d. Góc trong cùng phía của đường thẳng a và b được tạo bởi đường thẳng c là 120 và 60 độ. Vậy a và b song song.

Đáp án:

a. Đúng. Theo phương pháp 4 trên bài viết, ta có thể thấy nhận định trên là đúng.

b. Sai. Theo phương pháp 1, hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó mới song song.

c. Sai. Theo phương pháp 2, chỉ ra hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó mới bằng nhau.

d. Đúng. Theo phương pháp 3, hai góc trong cùng phía bù nhau (120 + 60 = 180) thì hai đường thẳng đó song song.

Bài 5: Cho hình vẽ sau, hãy chọn đáp án đúng nhất.

Hình minh họa đề bài 5

a. Hai đường thẳng a và b không song song.

b. Hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau.

c. Hai đường thẳng a và b song song vì có hai góc so le trong bù nhau.

d. Hai đường thẳng a và b song song vì có hai góc so le trong bằng nhau.

⇒ Đáp án D. Theo phương pháp 1 kết hợp với dữ liệu đề cho ta thấy đường thẳng có hai góc so le trong bằng nhau. Mà hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

Bài 6: Cho hình vẽ như sau biết số đo của ∠A1 = 108°, ∠B2 = 72°. Chứng minh a // b.

Hình minh họa đề bài 6

Bài giải:

Ta có:

∠B1 + ∠B2 = 180°.

⇔ ∠B1 + 72° = 180°.

⇒ ∠B1 = 180° - 72° = 108°.

Mà ∠A1 = 108° = ∠B1 (ở vị trí so le trong).

⇒ a // b.

Bài 7: Cho hình như trên có tam giác ABC vuông tại B, ∠BCA có số đo là 30°, BE // AC. Hãy tìm số đo ∠DBE.

Bài giải:

Hình minh họa đề bài 7

Ta có BE // AC:

⇒ ∠BCA = ∠EBC = 30° (góc so le trong).

Mà ∠DBE + ∠EBC + ∠CBA = 180°.

⇔ ∠DBE + 30° + 90° = 180°.

⇒ ∠DBE = 180° - 90° - 30° = 60°.

Vậy ∠DBE là 60°.

9. Bài tập tự luyện có đáp án

Bài 1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD. Chứng minh AB // CD.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho AD = AE. Chứng minh DE // BC.

Bài 3: Cho tam giác ABC có ∠B = ∠C = 40°. Gọi At là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A. Chứng minh At // BC.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = AC. Điểm K là trung điểm của BC. Từ C kẻ đường vuông góc với BC, cắt BA kéo tài tại E. Chứng minh EC // AK.

Bài 5: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. Chứng minh rằng BD // EC.

Bài giải

Bài 1:

Hình vẽ bài giải bài tập 1

Xét tam giác ABM và tam giác DCM ta có:

AM = MD (gt).

∠AMB = ∠DMC (hai góc đối đỉnh).

BM = MC (gt).

⇒ Tam giác ABM = tam giác DCM (cạnh - góc - cạnh).

⇒ ∠ABM = ∠DCM mà hai góc ở vị trí so le trong của AB và CD.

⇒ AB // CD.

Bài 2:

Hình vẽ bài giải bài tập 2

Ta có: AD = AE (gt).

⇒ Tam giác ADE cân tại A.

⇒ ∠ADE = (180° - ∠A)/2 (1).

Mà tam giác ABC cân tại A:

⇒ ∠ABC = (180° - ∠A)/2 (2).

Từ (1) và (2) suy ra ∠ADE = ∠ABC.

Mà hai góc ∠ADE và ∠ABC ở vị trí đồng vị.

⇒ DE // BC.

Bài 3:

Hình vẽ bài giải bài tập 3

Tam giác ABC có góc B = góc C = 40°.

⇒ Tam giác ABC cân tại A.

⇒ ∠BAC = 180° - 2∠ABC (1).

Gọi Am là tia đối của AB.

Với At là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A.

⇒ ∠mAt = ∠tAC.

⇒ ∠BAC = 180° - 2∠mAt (2).

Từ (1) và (2) suy ra, ∠ABC = ∠mAt.

Mà hai góc ∠ABC và ∠mAt ở vị trí đồng vị

⇒ At // BC.

Bài 4:

Hình vẽ bài giải bài tập 4

Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC.

⇒ Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Mà AK là đường trung tuyến thì AK cũng là đường phân giác.

⇒ ∠BAK = ∠BAC : 2 = 90° : 2 = 45° (1).

Tam giác BCE vuông tại C có ∠CBA = 45° (Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A).

⇒ ∠BEC = 180° - ∠BCE - ∠CBA = 180° - 90° - 45° = 45° (2).

Từ (1) và (2) suy ra, ∠BAK = ∠BEC.

Mà hai góc ∠BAK và ∠BEC ở vị trí đồng vị.

⇒ EC // AK.

Bài 5:

Hình vẽ bài giải bài tập 5

Ta có BD là tia phân giác của ∠ABC

⇒ ∠ABD = ∠DBC.

⇒ ∠EBC = 180° - ∠ABC - ∠DBC = 180° - 2 ∠ABD (1).

Mà tam giác EBC có BC = BE (gt).

⇒ Tam giác EBC cân tại B.

⇒ ∠BEC = ∠BCE.

⇒ ∠EBC = 180° - ∠BEC - ∠BCE = 180° - 2 ∠BEC (2).

Từ (1) và (2) suy ra, ∠ABD = ∠BEC.

Mai hai góc ∠ABD và ∠BEC ở vị trí đồng vị.

⇒ BD // EC.

10. Một số lưu ý khi chứng minh 2 đường thẳng song song

- Nắm rõ tính chất, phương pháp giải bài toán chứng chứng minh hai đường thẳng song song.

- Phân biệt rõ ràng giữa các tính chất để tránh bị nhằm lẫn.

- Thường xuyên làm bài tập để thuộc tính chất cũng như nhạy bén hơn, rèn luyện tư duy tốt hơn.

Hãy thường xuyên làm bài tập để nhạy bén hơn trong việc giải bài tập

- Nếu có thực hiện tính toán với máy tính cầm tay để tính số đo góc, cần tính toán cẩn thận để tránh bấm nhầm dẫn đến sai kết quả.

- Hãy vẽ hình cẩn thận, chính xác để có thể giải bài tập một cách dễ dàng.

Hy vọng các thông tin trong bài viết sẽ giúp bạn nắm rõ kiến thức và làm tốt các bài tập về hai đường thẳng song song. Cám ơn đã theo dõi, hẹn gặp lại ở những bài viết tiếp theo!

Trungtambaohanh chính thức hỗ trợ sửa chữa bảo hành các thiết bị server, máy chiếu, máy in, PC Đồng Hồ cho khách hàng trên toàn quốc.