Trực tâm là gì? Tính chất của đường trực tâm tam giác + ví dụ minh họa

Trực tâm là gì? Các tính chất của trực tâm trong tam giác sẽ được tổng hợp và minh họa trong bài viết dưới đây. Hãy click vào xem ngay nhé!

Trong hình học có một khái niệm là trực tâm của tam giác. Vậy trực tâm là gì và nó có các tính chất gì trong toán học. Hãy cùng tìm hiểu khái niệm và một số ví dụ về trực tâm tam giác qua bài viết dưới đây nhé!

1. Trực tâm là gì?

Trực tâm là giao điểm của 3 đường cao trong một tam giác.

Ví dụ: Trong ảnh bên dưới, H là trực tâm của tam giác ABC.

H là trực tâm của tam giác ABC

2. Cách xác định trực tâm của 1 số dạng hình học

Đối với mỗi loại tam giác sẽ có vị trí và cách xác định trực tâm khác nhau:

- Tam giác nhọn

Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.

Trực tâm tam giác nhọn nằm ở miền trong tam giác

- Tam giác vuông

Trực tâm chình là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

​​

Trực tâm tam giác vuông trùng với góc vuông

- Tam giác tù

Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác.

Trực tâm tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó

Hiện nay ngoài cách vẽ bằng tay truyền thống, bạn cũng có thể sử dụng những phần mềm vẽ hình học trên máy tính hoặc smartphone để vẽ và xác định trực tâm một cách chính xác.

3. Một số bài tập tự luyện về đường trực tâm

Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

​

A là trực tâm của tam giác HBC

Tam giác không vuông ABC có H là trực tâm.

Ta có:

- AH ┴ BC tại I => HI là đường cao của ▲HBC.

- CH ┴ AB tại E => BE là đường cao của ▲HBC.

- BH ┴ AC tại F => CF là đường cao của ▲HBC.

Mặc khác: HI, BE và CF kéo dài cắt nhau tại điểm A nên A là trực tâm của ▲HBC. (dpcm)

Bài 2: Cho hình sau:

Chứng minh: CH ┴ AB

Chứng minh: CH ┴ AB.

Giải:

▲ABC có:

- AF ┴ BC => AF là đường cao.

- BE ┴ AC => BE là đường cao.

Mà AF và BE giao nhau tại H => H là trực tâm của ▲ABC. (dpcm)

Vậy đường thẳng CH chứa đường cao từ đỉnh C; hay CH ┴ AB.

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng 9 điểm gồm chân ba đường cao; trung điểm ba cạnh và trung điểm các đoạn HA, HB, HC cùng nằm trên một đường tròn.

​

9 điểm gồm chân ba đường cao; trung điểm ba cạnh và trung điểm các đoạn HA, HB, HC cùng nằm trên một đường tròn.

Giải:

Gọi

- I, L, K lần lượt là chân ba đường cao hạ từ 3 đỉnh A, B và C. H là giao điểm ba đường cao.

- D, E, F lần lượt là trung điểm của 3 cạnh AB, BC và AC.

- G, I, J lần lượt là trung điểm của 3 đoạn AH, BH và CH.

Ta có:

- DF là đường trung bình ▲ABC => DF//BC và DF = ½ BC. (1)

- IJ là đường trung bình ▲HBC => IJ//BC và IJ = ½ BC. (2)

Từ (1) và (2) => DFJI là hình bình hành. (3)

Ta có: DI là đường trung bình ▲AHB => DI//AH nên DI//AI.

Mặc khác: AI ┴ BC và IJ//BC.

=> DI vuông góc với IJ. (4)

Từ (3) và (4) ta có DFJI là hình chữ nhật. Tâm đường tròn ngoại tiếp DFJI là O, O là trung điểm DJ. (a)

Tương tự chứng minh GDEJ là hình chữ nhật ngoại tiếp đường tròn tâm O, O là trung điểm DJ. (b)

- GIE vuông tại I, suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ▲GIE là O trung điểm GE. Tương tự O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ▲JLD và ▲IKF. (c)

Từ (a), (b) và (c) kết luận 9 điểm là chân đường cao, trung điểm các cạnh của ▲ABC và trung điểm 3 đoạn HA, HB, HC cùng nằm trên một đường tròn tâm O. (dpcm)

Bài viết trên đã tóm tắt khái niệm đường trực tâm của tam giác và một số tính chất của nó. Chúc các bạn thành công!